线性代数复合变换

序

注：本文为个人笔记，仅供参考，没有权威性。

定义：略。

当对原本体系进行多个变换叠加后，可以得到一个复合变换。例如旋转，伸缩，剪裁等。

例如一个二维坐标系中，两个变换如下：

f1 = \begin{bmatrix} a && c \\ b && d \end{bmatrix}, f1 = \begin{bmatrix} e && f \\ g && h \end{bmatrix}

点 p 为：

f1 = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}

如果变换顺序是 f1、f2，设点 p 经过 f1 变换的点是 p’，p’ 经过 f2 变换的结果是 p”，那么可有：

p' = f1 \enspace p = \begin{bmatrix} ax + cy \\ bx + dy \end{bmatrix}, 记作: \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} \\ p'' = f2 \enspace p' = \begin{bmatrix} ex' + fy' \\ gx' + hy' \end{bmatrix}

简化可得：

p'' = f2 \enspace f1 \enspace p = \begin{bmatrix} e && f \\ g && h \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a && c \\ b && d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}

由上一节可知，每次变换后得到的新基向量将作为一个中间基向量参与到了下一次变换当中，变换后中间态的基向量和原始基向量存在映射关系，新的变换虽然作用的是中间态的基向量，但事实确实在变换一个新的映射关系。

例如一个旋转变换和一个压缩变换：