线性代数基向量

序

注：本文为个人笔记，仅供参考，没有权威性。

基向量用来描述向量所在体系的基本单位。

以二维空间空间距离，平面内任意一个位置都可以由一组 线性无关 的基向量来表示。

例如最简单的一组基向量：

x = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} , y = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}

通过给与基础值 a，b，可以得到：

v = ax + by= \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}

参数 a，b 的不同，可以表示该平面内所有的点。

示意图：

两个向量线性相关表示两个向量存在比值关系，即在同一条线上，比如向量 v 和 w 存在以下关系即判定为线性相关：

v = aw , (a ≠ 0)

如果从图形上看，两个向量是在同一条线上，比如：

v = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} , w = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \end{bmatrix}

此时 v,w 向量的关系为：

v = -1w

向量 v，w 张成的空间是一条线，表示它们线性相关。

不过也有特殊情况，比如 v，w 至少一个是 0 向量，那个上面的例子不使用。

如果两个向量无法互相转换，不在一个方向上，它们的张成空间就是一个面，即向量 v，w 满足下面式子时成立：

v ≠ aw

线性变换定义：

根据上面定义，什么三角变换，对数变换，多次求根变换，贝塞尔变换，断点变换都违背了第一条定义，都不算。同时添加常数的变换，例如平移变换会改变原点坐标也不算是线性变换。

从基向量来理解更为简单，即线性变化就是基向量的旋转或缩放。

由第一节可知，平面内任何一个点都可以由一组线性无关的基向量表示，设基向量为 i，j，点为 p，存在以下关系：

p = ai+bj = \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}

一般情况下：

i = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} , j = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}

但是进行线性变化时，基向量就会发生改变，比如把 x 轴拉伸 n 倍，把 y 轴拉伸 m 倍，那么基向量变为：

i = \begin{bmatrix} n \\ 0 \end{bmatrix} , j = \begin{bmatrix} 0 \\ m \end{bmatrix}

此时基于基向量不同，点 p 的位置也会发生改变：

p' = ai+bj = a \begin{bmatrix} n \\ 0 \end{bmatrix} + b \begin{bmatrix} 0 \\ m \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} an \\ bm \end{bmatrix}

这就是 p 点新的位置。

实际情况中我们并不知道基向量 i 和 j 是如何变换的，现在整理一下，基向量 i 和 j ，还有点 p 可以使用以下矩阵表示：

i = \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}, j = \begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix}, p = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}

p 点新的位置 p’ 则为：

p' = xi+yj = x \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} + y \begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} xa + cy \\ xb + yd \end{bmatrix}

我们可以使用一组 2 * 2 的矩阵来表示一组基向量 i 和 j 和点 p 的转换关系：

p' = \begin{bmatrix} a && c \\ b && d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ax + cy \\ bx + dy \end{bmatrix}

其中：